x⁴ + x³ + x² + x = 4.66 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   探すべき実数解の個数を確かめる。 $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ とすると、因数 $x^2+1$ は決してゼロにならないので $g<0$ となるのは $(-1,0)$ の上だけであり、両方向で $g\to+\infty$ となる。したがって水平線 $y=4.66$ はグラフをちょうど 2 回切る。解を 1 つしか挙げない答えは不完全である。

2. 2

   正の解を挟み込む。 $g(1)=4$、$g(1.1)=5.1051$ なので解は $(1,1.1)$ にあり、$4.66$ は $5.11$ より $4$ に近いので下端寄りである。

3. 3

   正の解を精密化する。

   $x_1=1.0620313,\qquad g(x_1)=4.660000$

   報告されている $1.06463$ では $g=4.6894$ となり $0.03$ ずれる。この付近で $g'\approx 11$ なので、これは $x$ の誤差およそ $0.0026$ に相当する。

4. 4

   負の解を挟み込む。 $g(-1.7)=4.6291$（目標のすぐ下）、$g(-1.75)=5.3320$（目標より上）なので、解は $(-1.75,-1.7)$ にある。

5. 5

   負の解を精密化する。

   $x_2=-1.7023038,\qquad g(x_2)=4.660000$

   $-1.72880$ という値は挟み込み区間の中にはあるが $g=5.0256$ を与え、$4.66$ より明らかに大きいので、これも解ではない。

6. 6

   答えをまとめる。 2 つの実数解は $x\approx 1.0620313$ と $x\approx -1.7023038$ であり、この 4 次方程式の残る 2 解は複素共役である。