x⁴ + x³ + x² + x = 4.553 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず因数分解して実数解の個数を数える。

   $g(x)=x^4+x^3+x^2+x=x(x+1)(x^2+1)$

   であり $x^2+1>0$ なので、この関数が負になるのは $(-1,0)$ の上だけで、その両側では $x^4$ のように増大する。したがって高さ $4.553>0$ の水平線はグラフとちょうど 2 回交わる——右の枝で 1 回、左の枝で 1 回である。これを先に知っておけば、解を 1 つ見つけた時点で止めてしまうことがない。

2. 2

   正の解を挟み込む。 $g(1)=1+1+1+1=4$ で目標より下、$g(1.1)=1.4641+1.331+1.21+1.1=5.1051$ で目標より上である。よって解は $(1,1.1)$ にある。

3. 3

   精密化する。 二分法（あるいは $1.05$ からニュートン法を 1 段）で

   $x_1=1.0524735$

   が得られる。確認すると $g(1.0524735)=4.55300$。よく引用される $1.054381$ では $g=4.5742$ となり、$0.021$ ほど大きすぎる——ここでの微分係数はおよそ $11$ なので、$x$ の $0.002$ の誤差がはっきり現れる。

4. 4

   負の解を挟み込む。 $g(-1.69)=4.4966$、$g(-1.70)=4.6291$ で $4.553$ を挟んでいる。よって 2 つ目の解は $(-1.70,-1.69)$ にある。

5. 5

   精密化する。

   $x_2=-1.6942810,\qquad g(x_2)=4.55300$

   報告されることのある $-1.853257$ という値は、この挟み込み区間から大きく外れている——実際 $g(-1.853257)=7.0124$ であり、$4.553$ には少しも近くない。

6. 6

   答えを述べる。 実数解は

   $x\approx 1.0524735\quad\text{と}\quad x\approx -1.6942810$

   であり、4 次方程式の解は全部で 4 つなので、残る 2 つは複素共役な組をなす。