(x⁵ − x + 20x³ − 8) ÷ (7 + x² − 2x) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず両方を次数の降順に並べ直す。 問題文では項の順序がばらばらだが、筆算は次数の順序に完全に依存している。

   $\text{分子: } x^5 + 20x^3 - x - 8, \qquad \text{分母: } x^2 - 2x + 7$

   商の次数は $5 - 2 = 3$ になる。

2. 2

   抜けている次数に 0 の項を補う。 分子には $x^4$ の項も $x^2$ の項もないので、次のように書く。

   $x^5 + 0x^4 + 20x^3 + 0x^2 - x - 8$

   これを補わないと桁がずれ、以降の引き算がすべて狂う。

3. 3

   1 回目と 2 回目。 最高次の項どうしを割り、掛けて、引く。

   $\frac{x^5}{x^2} = x^3: \quad x^3(x^2-2x+7) = x^5 - 2x^4 + 7x^3 \ \Rightarrow\ 2x^4 + 13x^3 + 0x^2 - x - 8$

   $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2: \quad 2x^2(x^2-2x+7) = 2x^4 - 4x^3 + 14x^2 \ \Rightarrow\ 17x^3 - 14x^2 - x - 8$

4. 4

   3 回目と 4 回目。

   $\frac{17x^3}{x^2} = 17x: \quad 17x(x^2-2x+7) = 17x^3 - 34x^2 + 119x \ \Rightarrow\ 20x^2 - 120x - 8$

   $\frac{20x^2}{x^2} = 20: \quad 20(x^2-2x+7) = 20x^2 - 40x + 140 \ \Rightarrow\ -80x - 148$

   残った $-80x - 148$ は $1$ 次で、割る式の次数 $2$ より低いので、ここで割り算は止まる。

5. 5

   結果を「商 + 真分数の余り」の形に書く。

   $\frac{x^5 + 20x^3 - x - 8}{x^2 - 2x + 7} = x^3 + 2x^2 + 17x + 20 - \frac{80x + 148}{x^2 - 2x + 7}$

6. 6

   掛け戻して検算する。 $(x^2 - 2x + 7)(x^3 + 2x^2 + 17x + 20) + (-80x - 148)$ を展開すると $x^5 + 20x^3 - x - 8$ にぴったり戻る。なお割る式 $x^2 - 2x + 7$ の判別式は $4 - 28 = -24 < 0$ なので実数の範囲では因数分解できず、余りを実数係数の 1 次因数による部分分数に分けることもできない。