方程式 x³ − 3x² + 4 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数の候補を試す。 有理根定理により、候補は $\pm1, \pm2, \pm4$ である。調べると $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$、$f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$、$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$。候補が 2 つすぐに当たり、この時点ですでに重複した因数の存在が示唆される。

2. 2

   組立除法で (x − 2) で割る。 欠けている 1 次の項も含めて係数を書く：$1,\ -3,\ 0,\ 4$。$1$ を下ろし、各段階で $2$ を掛けていくと $1,\ -1,\ -2$ の行が得られ、余りは $0$ である。したがって

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)\left(x^2 - x - 2\right)$

   $0$ の空位を入れることが必須である——省くと以降の係数がすべてずれてしまう。

3. 3

   2 次式を因数分解する。 積が $-2$、和が $-1$ となる 2 数は $-2$ と $1$ である：

   $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

4. 4

   完全な因数分解を書く。

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)^2(x+1)$

   因数 $(x-2)$ が 2 回現れており、先ほどの示唆が裏づけられた。

5. 5

   解とその重複度を述べる。

   $x = 2 \ \text{（重解）}, \qquad x = -1$

6. 6

   検証する。 展開すると $(x-2)^2(x+1) = \left(x^2 - 4x + 4\right)(x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$ ——$x$ の項 $-4x$ と $+4x$ が打ち消し合い、だから元の式には 1 次の項が無い。$x = 2$ の重複度は偶数なので曲線はそこで軸を横切らずに接し、$x = -1$ では横切る。