方程式 3x⁴ + 8x³ - 4x² - 16x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   共通因数の x をくくり出す。 すべての項が $x$ を含む。

   $x\left(3x^3 + 8x^2 - 4x - 16\right) = 0$

   これで $x = 0$ がただちに 1 つの解として得られ、残りは 3 次式から出てくる。

2. 2

   ここで 2 項ずつのくくり出しに頼ってはいけない。 つい $\left(3x^3 + 8x^2\right) + \left(-4x - 16\right) = x^2(3x+8) - 4(x+4)$ としたくなる。しかし 2 つの括弧は $3x+8$ と $x+4$ であり、一致していない のでこの方法では閉じない。後半を $-4(3x+8)$ と書けば $-12x - 32$ になってしまい、$-4x - 16$ ではない。この取り違えが、この方程式で $x = -\tfrac83,\,\pm 2$ という誤答が生まれる典型的な原因である。

3. 3

   代わりに 3 次式の有理根を探す。 候補は $d \mid 16$、$e \mid 3$ として $\pm\tfrac{d}{e}$ の形になる。$x = -2$ を試すと

   $3(-8) + 8(4) - 4(-2) - 16 = -24 + 32 + 8 - 16 = 0$

   となるので、$(x+2)$ は 3 次式を割り切る。

4. 4

   割り算して商を因数分解する。 $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16$ を $(x+2)$ で割ると $3x^2 + 2x - 8$ が得られ、これは $(3x - 4)(x + 2)$ に分解できる。したがって

   $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16 = (x+2)^2(3x-4)$

   となり、全体の因数分解は

   $3x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 16x = x(x+2)^2(3x-4)$

   である。

5. 5

   解を読み取る。 各因数を 0 とおくと

   $x = 0, \qquad x = -2 \ \text{（重解）}, \qquad x = \frac{4}{3}$

   が得られる。

6. 6

   検証する。 $x(x+2)^2(3x-4)$ を展開すると係数 $3,\ 8,\ -4,\ -16,\ 0$ がそのまま戻る。直接代入しても $f(0) = 0$、$f(-2) = 48 - 64 - 16 + 32 = 0$、$f(4/3) = 0$（$10^{-14}$ の精度）となる。$x = -2$ は重解なので、グラフはその点で軸に触れるだけで横切らない。