x³ + 3x² − 4 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を並べる。 最高次の係数が $1$ なので、有理数解は定数項 $-4$ を割り切る：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$

2. 2

   小さい候補から試す。 $f(x)=x^3+3x^2-4$ とおくと

   $f(1)=1+3-4=0$

   となるので、$x=1$ は解であり $(x-1)$ は因数である。（$x$ の項が抜けていることに注意する。その係数は $0$ であり、これが割り算のときに効いてくる。）

3. 3

   $(x-1)$ で組立除法により割る。 係数 $1,\,3,\,0,\,-4$ を下ろし、割る数を $1$ とすると：

   $1\quad 4\quad 4\ \ |\ \ 0$

   余りが 0 であることが解を裏づけ、商は $x^2+4x+4$ である。

4. 4

   商を因数分解する。 これは完全平方式である。$4=2^2$、$2\cdot x\cdot 2=4x$ だからである：

   $x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\Longrightarrow\quad x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$

5. 5

   展開と重解で確かめる。 $(x-1)(x+2)^2=(x-1)(x^2+4x+4)=x^3+3x^2-4$ $\checkmark$。また $f(-2)=-8+12-4=0$ であり、$-2$ は重解なので、グラフはそこで軸を横切らずに接する。