方程式 x³ − 3x² + 3x − 1 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を二項係数の並びとして読む。 絶対値 $1,\ 3,\ 3,\ 1$ はパスカルの三角形の第 3 行であり、符号は交互になっている。これはまさに

   $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

   の型である。

2. 2

   a と b を合わせる。 $a = x$、$b = 1$ とすると各項が再現される：$x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3$。したがって

   $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$

   である。これを見抜けば、有理数解を試して割るという一連の作業がまるごと省ける。

3. 3

   潰れた方程式を解く。 立方がゼロになるのは、その底がゼロのときだけである：

   $(x-1)^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

4. 4

   重複度を述べる。 解 $x = 1$ の重複度は $3$ なので、3 次方程式が重複度を込めて 3 つの解を持つとはいえ、相異なる解は 1 つしかない。$f(1) = 0$、$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 3 = 0$、$f''(1) = 6 - 6 = 0$ ——$f$、$f'$、$f''$ が同じ点で同時に消えることが、3 重解の代数的な特徴である。

5. 5

   検証し、グラフにも触れる。 $1 - 3 + 3 - 1 = 0$。重複度が奇数なので、曲線は $x = 1$ で $x$ 軸に接するのではなく横切るが、そこでの傾きはゼロであり、特徴的な平坦な変曲が生じる。