x³ − 3x² + 3x − 2 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数の中に 2 項展開の 3 乗のパターンを探す。 恒等式

   $(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1$

   の係数は $1,-3,3,-1$ で、定数項を除いて与えられた 3 次式とまったく同じである。$1,3,3,1$ という並び（パスカルの三角形）が手がかりである。

2. 2

   そのパターンを使って 3 次式を書き直す。 定数が $-1$ ではなく $-2$ なので、

   $x^{3}-3x^{2}+3x-2=\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)-1=(x-1)^{3}-1$

3. 3

   方程式を純粋な 3 乗の形に還元する。

   $(x-1)^{3}-1=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^{3}=1$

4. 4

   実数の 3 乗根をとる。 平方根と違い、実数の 3 乗根は 1 価である。3 乗して $1$ になる実数は $1$ 自身しかないので、

   $x-1=1\ \Longrightarrow\ x=2$

5. 5

   残り 2 つの解も説明しておく。 複素数の範囲では $(x-1)^{3}=1$ は $x-1=\omega$ と $x-1=\omega^{2}$ も許す。ここで $\omega=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$ であり、実数でない解 $x=\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$ が得られる。同じことだが、3 乗の差として因数分解すると $(x-2)\left(x^{2}-x+1\right)=0$ となり、$x^{2}-x+1$ の判別式は $-3<0$ である。

6. 6

   実数解を検算する。 $2^{3}-3(2)^{2}+3(2)-2=8-12+6-2=0\ \checkmark$