x³ − 15x² + 75x − 125 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を立方の型と照合する。 ひな型を展開すると

   $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$

   である。$x^2$ の係数を合わせると $-3a=-15$ なので $a=5$。次に残り両方の係数も一致しなければならず、実際に一致する：$3a^2=75$ ✓、$-a^3=-125$ ✓。3 つの照合がすべて通ることが、この近道を許す根拠である——ひとつでも外れていれば、この 3 次式は完全立方式ではない。

2. 2

   方程式を書き直す。

   $x^3-15x^2+75x-125=(x-5)^3=0$

3. 3

   立方の方程式を解く。 立方がゼロになるのは、その底がゼロのときだけなので、

   $x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5$

4. 4

   重複度を記録する。 因数 $(x-5)$ は 3 回現れるので、$x=5$ は3 重解である。3 次方程式は重複度を込めて 3 つの解を持つが、ここではその 3 つがすべて一致している——他に実数解も複素数解も無い。

5. 5

   検証し、図形的な意味を読む。 代入すると $125-375+375-125=0$ ✓。さらに $f'(x)=3x^2-30x+75=3(x-5)^2$、$f''(x)=6x-30$ なので、$f'(5)=0$ かつ $f''(5)=0$ でもある。したがってグラフは $x=5$ で完全に平らになってから軸を横切る——3 重解の視覚的な指紋である。