27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   3 次方程式の解の公式に飛びつく前に完全立方式を探す。 最初と最後の項はどちらも立方数である。

   $27x^{3}=(3x)^{3},\qquad 8=2^{3}.$

   符号が $+,-,+,-$ と交互になっているのは 差 の形 $(a-b)^{3}$ を示唆するので、面倒なことをする前に $a=3x$、$b=2$ を試す価値がある。この形に気づけば 3 次方程式が 1 行で済む問題になる。

2. 2

   $(3x-2)^{3}$ を展開して見比べる。 $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ を使うと

   $(3x-2)^{3}=(3x)^{3}-3(3x)^{2}(2)+3(3x)(2)^{2}-2^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8.$

   すべての係数が元の式と一致する。真ん中の 2 項はとくに丁寧に確かめること。$3\cdot 9x^{2}\cdot 2=54x^{2}$、$3\cdot 3x\cdot 4=36x$ ——推測が外れていれば食い違うのはこの部分である。

3. 3

   因数分解した形に書き直す。 よって方程式は

   $(3x-2)^{3}=0.$

   となる。立方が 0 になるのは底が 0 のときだけである。実数でも 複素数でも $t^{3}=0\iff t=0$ だからである。第 2 の場合を考える余地はない。

4. 4

   1 次方程式を解く。 $3x-2=0$ より

   $3x=2\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}.$

   したがってこの 3 次方程式の解は $x=\tfrac23$ ただ 1 つで、重複度は 3 である——3 次多項式の 3 つの解がすべて一致している。グラフで見ると、曲線はその点で $x$ 軸を急に横切るのではなく、軸に張りつくように平らになる。

5. 5

   代入と解と係数の関係で確かめる。 代入すると $27\cdot\tfrac{8}{27}-54\cdot\tfrac49+36\cdot\tfrac23-8=8-24+24-8=0$ ✓。解と係数の関係とも整合する。3 つの解の和は $-\tfrac{-54}{27}=2=3\times\tfrac23$ ✓、積は $\tfrac{8}{27}=\left(\tfrac23\right)^{3}$ ✓ でなければならない。