連立方程式 x − 3y = 2、2x + 2y = 10 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   消去の前に簡単にする。 第 2 式はどの項も $2$ で割り切れる：

   $2x+2y=10\qquad\Longrightarrow\qquad x+y=5$

   これで両式とも $x$ の係数が $1$ になり、1 手で消去できる形になる。この簡約を飛ばすと、計算が無用に重くなる。

2. 2

   簡約した連立を書く。

   $x-3y=2,\qquad x+y=5$

3. 3

   引き算で x を消去する。 $x$ の項が打ち消し合うよう、第 2 式から第 1 式を引く：

   $(x+y)-(x-3y)=5-2$

   かっこ全体に引き算を分配して——$-(-3y)=+3y$ ——次を得る：

   $4y=3$

4. 4

   y を求める。

   $y=\frac{3}{4}$

   答えが分数になるのはまったく普通のことである。この連立に整数解であるべき理由は無い。

5. 5

   後退代入で x を求める。 $x+y=5$ を使うと：

   $x=5-\frac34=\frac{20}{4}-\frac34=\frac{17}{4}$

6. 6

   元の 2 式で検証する。 第 1 式：$\tfrac{17}{4}-3\cdot\tfrac34=\tfrac{17}{4}-\tfrac94=\tfrac84=2$ ✓。第 2 式：$2\cdot\tfrac{17}{4}+2\cdot\tfrac34=\tfrac{34}{4}+\tfrac64=\tfrac{40}{4}=10$ ✓。どちらも分数の計算で厳密に一致し、丸めは入っていない。