同次連立方程式 x + 2y − 2z = 0, 2x − y + z = 0, 3x + y − z = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   自明解は必ず存在することに注意する。 右辺がどれも $0$ なので、$(0,0,0)$ は自動的にこの系を満たす。面白いのはそれ以外があるかどうかで、それは 3 本の式が 1 次従属であるとき、そのときに限る。

2. 2

   第 2 式と第 3 式を足して、変数 2 つを一度に消す。 $-y$ と $+y$ が打ち消し合い、$+z$ と $-z$ も同様である：

   $(2x-y+z)+(3x+y-z)=5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   この組み合わせは見つける価値がある。第 2 式と第 3 式で $y$ と $z$ の係数がちょうど反対符号なので、1 回の足し算で変数が 2 つ消えるのである。

3. 3

   $x=0$ を残りの式に代入する。 第 2 式は $-y+z=0$ となるので $z=y$、第 1 式は $2y-2z=0$ となるのでふたたび $y=z$ である——同じ条件であって、新しい条件ではない。この重複こそ従属な系の代数的な指紋であり、3 本の式が独立な条件を 2 つしか課していないことを示している。

4. 4

   解集合を媒介変数で表す。 $x=0$ で、$y=z$ が一緒に動ける自由をもつので、$y=z=t$ とおく：

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

   幾何的には 3 つの平面がいずれも $(0,1,1)$ の張る直線を含んでいるので、1 点ではなく直線で交わる。

5. 5

   行列式と代入で検証する。 第 1 行で展開すると

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-1)-2(-2-3)-2(2+3)=0+10-10=0,$

   となり、自明でない解が必ず存在することが確かめられる。$(0,1,1)$ で検算すると $0+2-2=0$ ✓、$0-1+1=0$ ✓、$0+1-1=0$ ✓ である。