5 次方程式 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解を排除する。 候補は $d \mid 10$、$e \mid 40$ を満たす $\pm\tfrac{d}{e}$ である。いくつか試すと $f(1) = -1$、$f(-1) = -81$、$f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{129}{16} = 8.0625$、$f\!\left(-\tfrac12\right) = \tfrac{89}{16} = 5.5625$、$f\!\left(\tfrac54\right) = 7.5586$ となり、いずれも消えない。さらにアーベル・ルフィニの定理により一般の 5 次方程式には根号による解の公式が無いので、解は数値的に求めるしかない。

2. 2

   符号の変化で実数解を挟み込む。 $f(x) = 40x^5 - 51x^4 + 10$ を表にすると：

   $f(-1) = -81, \quad f(-0.7) = -8.968, \quad f(-0.5) = 5.563, \quad f(0) = 10, \quad f(0.9) = 0.159, \quad f(1) = -1, \quad f(1.1) = -0.249, \quad f(1.2) = 3.779$

   符号が変わるたびに解が 1 つ捕まる：$(-0.7,\,-0.5)$ に 1 つ、$(0.9,\,1)$ に 1 つ、$(1.1,\,1.2)$ に 1 つ。$x \to -\infty$ で $f \to -\infty$、$x \to +\infty$ で $f \to +\infty$ なので、実数解はこの 3 つで全部である。

3. 3

   各区間を精密化する。 それぞれの区間で二分法かニュートン法を回すと、

   $x_1 \approx -0.603957, \qquad x_2 \approx 0.909281, \qquad x_3 \approx 1.110778$

   に収束する。

4. 4

   残る共役な組を取り出す。 5 次方程式の解は 5 つある。実数解 3 つで次数を下げると 2 次式が残り、その解は

   $x \approx -0.070551 \pm 0.636284\,i$

   である。

5. 5

   係数との関係で検証する。 5 つの解の和は $\tfrac{51}{40} = 1.275$ でなければならない：$-0.603957 + 0.909281 + 1.110778 + 2(-0.070551) = 1.275000$。積は $-\tfrac{10}{40} = -0.25$ でなければならない（5 次なので符号が反転する）：$(-0.603957)(0.909281)(1.110778)\left(0.070551^2 + 0.636284^2\right) = -0.250000$。直接代入すると、各実数解で $|f(x_i)| < 10^{-4}$ である。

6. 6

   広く出回っている誤った値への注意。 この方程式の解として $-0.6487,\ 0.7606,\ 1.2264$ の 3 つ組が引用されることがあるが、$f(-0.6487) = -3.63$、$f(0.7606) = 3.11$、$f(1.2264) = 5.60$ であり、どれも解ではない。