3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ − 9x² − 15x − 10 を完全に因数分解し、実数解をすべて挙げよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解を探す。 有理数解になりうるのは $p\mid 10$、$q\mid 3$ を満たす $\pm\frac{p}{q}$ で、$\pm1,\pm2,\pm5,\pm10,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac53,\pm\tfrac{10}{3}$ である。$x=-2$ を試すと

   $3(-32)+9(16)+4(-8)-9(4)-15(-2)-10=-96+144-32-36+30-10=0,$

   となるので、$x=-2$ は解であり $(x+2)$ は因数である。この多項式では場当たり的な組分けが失敗するので、解を探すのが正しい第一手である。

2. 2

   $(x+2)$ を組立除法で割り出す。 係数 $3,\;9,\;4,\;-9,\;-15,\;-10$ を下ろし、各段階で $-2$ を掛けていくと、行は $3,\;3,\;-2,\;-5,\;-5$、余りは $0$ になる：

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)\left(3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5\right).$

   余りが 0 であることが、解が正しかったことの確認になる。

3. 3

   4 次式に有理数解がないことを示し、それでも 2 次式に分解する。 $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ に $\pm1,\pm5,\pm\tfrac13,\pm\tfrac53$ を代入しても 0 になるものはない（たとえば $x=-1$ での値は $-2$）ので、$\mathbb{Q}$ 上ではこれ以上 1 次因数は存在しない。そこで代わりに

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).$

   とおく。

4. 4

   係数を比較して小さな連立方程式を解く。 積を展開すると

   $3x^{4}+(3c+a)x^{3}+(3d+ac+b)x^{2}+(ad+bc)x+bd,$

   となるので、$3c+a=3$、$3d+ac+b=-2$、$ad+bc=-5$、$bd=-5$ である。$b=-5$ と試すと $d=1$ が決まり、さらに $c=1$、$a=0$ が 4 つの式すべてを満たす。したがって

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   展開して確認する：$3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5x^{2}-5x-5=3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ ✓。

5. 5

   完全な因数分解を組み立て、実数解を読み取る。

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   各因数を 0 とおくと、まず $x=-2$。$3x^{2}=5$ より $x=\pm\sqrt{\tfrac53}=\pm\tfrac{\sqrt{15}}{3}\approx\pm1.290994$。$x^{2}+x+1$ の判別式は $1-4=-3<0$ で実数解を与えない。よって実数解はちょうど 3 個である。

6. 6

   数値で確認する。 この 5 次式を数値的に解くと $-2$、$\pm1.2909944$、および複素数の組 $-0.5\pm0.8660254i$ が返る——これはちょうど $-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$、すなわち $x^{2}+x+1$ が予言するとおりの原始 3 乗根である ✓。