x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   明らかな共通因数をくくり出す。 どの項も $x$ を含む：

   $x\left(x^4+30x^3+75x^2-3250x-15000\right)=0$

   よって $x=0$ はただちに解であり、残るのは 4 次式の処理である。

2. 2

   15000 の約数から整数解を探す。 4 次式で $x=10$ を試すと：

   $10000+30000+7500-32500-15000=0\;\checkmark$

   なので $(x-10)$ が因数である。試すのは安上がりで決定的である。$\pm 25$ のような大きな解を、評価もせずに当て推量することが、誤った因数分解が世に出る原因そのものである。

3. 3

   割ってさらに因数分解する。 4 次式を $x-10$ で組立除法すると

   $x^3+40x^2+475x+1500$

   が残り、この 3 次式は $x=-5$ で満たされる：$-125+1000-2375+1500=0\;\checkmark$。もう一度 $x+5$ で割ると 2 次式

   $x^2+35x+300$

   が得られる。

4. 4

   最後の 2 次式を因数分解する。 積が $300$、和が $35$ となる 2 数は $15$ と $20$ である：

   $x^2+35x+300=(x+15)(x+20)$

   よって完全な因数分解は

   $x^5+30x^4+75x^3-3250x^2-15000x=x(x-10)(x+5)(x+15)(x+20)$

   である。

5. 5

   解を列挙してすべて検証する。

   $x=0,\;10,\;-5,\;-15,\;-20$

   独立な 2 つの確認でこの集合が裏づけられる。解と係数の関係：解の和は $-30$ でなければならず、$0+10-5-15-20=-30\;\checkmark$。また 0 でない 4 解の積は、4 次式の定数項 $-15000$ を最高次の係数 $1$ で割った値に等しくなければならず、$10\cdot(-5)\cdot(-15)\cdot(-20)=-15000\;\checkmark$。5 次方程式を数値的に解いても、やはり $10,-20,-15,-5,0$ が返る。