解の公式を使って 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0 を解け。2 つの解を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   $a$、$b$、$c$ を符号ごと読み取る。 $ax^{2}+bx+c=0$ と見比べると：

   $a=4.08,\qquad b=-652.85,\qquad c=10236.$

   中央の係数は負であり、$-b$ にそのマイナス符号を持ち込むことで両方の解が正になる。$a>0$、$c>0$ で $b<0$ なので、（実数であれば）2 つの解はどちらも正でなければならない。

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   $b^{2}$ と $4ac$ を別々に計算する。 判別式の 2 つの部分を切り離して計算すると、計算間違いが見えやすくなる：

   $b^{2}=652.85^{2}=426213.1225,$

   $4ac=4\times 4.08\times 10236=16.32\times 10236=167051.52.$

   2 つ目の積が最も掛け間違えられやすい段階である：$16.32\times10236=163776+3275.52$ であり、$0.32\times10236=3275.52$ の部分を落とすと判別式が $3275.52$ ずれる——それだけで各解が $0.39$ ほど動いてしまう。

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   判別式を作って平方根をとる。 引き算すると、

   $\Delta=426213.1225-167051.52=259161.6025,$

   $\sqrt{\Delta}=509.07917\ldots$

   $\Delta>0$ なので相異なる 2 つの実数解があり、ステップ 1 の符号による推論とも整合する。

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   $2a=8.16$ として公式を適用する。 代入すると、

   $x=\frac{652.85\pm 509.07917}{8.16}.$

   プラスの分枝は $\dfrac{1161.92917}{8.16}=142.39328$、マイナスの分枝は $\dfrac{143.77083}{8.16}=17.61897$ である。

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   解と係数の関係で確かめる。 2 解の和は $-b/a$、積は $c/a$ に等しくなければならない：

   $142.39328+17.61897=160.01225=\frac{652.85}{4.08} ✓,$

   $142.39328\times 17.61897=2508.82\ldots=\frac{10236}{4.08} ✓.$

   どちらの関係も成り立つので、判別式の計算も割り算も裏づけられた。