0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91 を解け。厳密解を根号の形で、さらに小数の近似値も示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず方程式を標準形にする。 解の公式が使えるのは $ax^{2}+bx+c=0$ の形だけなので、何より先に両辺から $2.91$ を引く：

   $0.02x^{2}+0.06x+0.18-2.91=0\;\Longrightarrow\;0.02x^{2}+0.06x-2.73=0.$

   定数項が負になる点に注目する。これだけで、2 つの解が異符号になること（積 $c/a$ が負であること）が分かる。

2. 2

   100 倍して小数を払う。 小数の係数は判別式を手計算しづらくし、丸めのずれを招く。各項を $100$ 倍するのは近似ではなく同値変形である：

   $2x^{2}+6x-273=0.$

   各項を確認すると $0.02\times100=2$、$0.06\times100=6$、$-2.73\times100=-273$ で、3 つとも整数になった。

3. 3

   $a=2$、$b=6$、$c=-273$ として解の公式を適用する。 代入すると、

   $x=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-273)}}{2(2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36+2184}}{4}=\frac{-6\pm\sqrt{2220}}{4}.$

   符号の罠は $-4ac=-4(2)(-273)=+2184$ である：内側の 2 つのマイナスが、判別式を小さくするのではなく大きくする。$2220>0$ なので、相異なる 2 つの実数解を持つ。

4. 4

   根号を簡約して共通因数を約分する。 $2220$ から最大の平方因数を取り出す：

   $2220=4\cdot 555,\qquad \sqrt{2220}=2\sqrt{555},$

   であり、$555=3\cdot 5\cdot 37$ は平方因数を持たないので、これで完全に簡約されている。すると

   $x=\frac{-6\pm 2\sqrt{555}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{555}}{2}.$

   分数の 3 か所すべてから $2$ を約分することが、見苦しい答えをきれいな形に変える。

5. 5

   近似値を出し、両方の解を元の方程式で確かめる。 $\sqrt{555}\approx 23.5584$ なので、

   $x\approx\frac{-3+23.5584}{2}\approx 10.2792,\qquad x\approx\frac{-3-23.5584}{2}\approx-13.2792.$

   $x=10.2792$ を代入すると $0.02(105.66)+0.06(10.2792)+0.18=2.1132+0.6168+0.18=2.9100$ ✓。$x=-13.2792$ でも同じ確認で $2.91$ が返る ✓。2 解は当然のことながら頂点 $x=-1.5$ に関して対称である。