x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000 を解け。実数解をすべて小数第 6 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   展開してすべてを一方の辺に集める。 $x^{2}$ を分配すると

   $x^{2}\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 104x^{2}+x^{2}\cdot 40x=x^{6}+104x^{4}+40x^{3},$

   となるので、方程式は次の形になる。

   $f(x)=x^{6}+104x^{4}+40x^{3}-10000=0.$

   $x^{5}$、$x^{2}$、$x$ の項がないことに注意。多項式は疎ではあるが、$104x^{4}$ があるために、置き換え $u=x^{3}$ で次数が下がる形（$x^{6}+bx^{3}+c$）にはなっていない。

2. 2

   有理数解を除外する。 有理根定理が許す候補は $10000$ の約数だけであり、$\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm8,\pm10,\pm16,\pm20,\pm25,\ldots$ である。小さいものを試すと

   $f(2)=64+1664+320-10000=-7952,\qquad f(3)=729+8424+1080-10000=233,$

   $f(-3)=729+8424-1080-10000=-1927,\qquad f(-4)=4096+26624-2560-10000=18160.$

   どれも 0 にならず、有理数係数の 2 次式への因数分解も存在しないので、解は数値的に求めるほかない。

3. 3

   符号の変化を挟み込む — 変化は 1 つではなく 2 つある。 上の 4 つの値がすでに両方を明かしている：

   $f(-4)>0>f(-3)\quad\text{かつ}\quad f(2)<0<f(3),$

   したがって中間値の定理より、解は $(-4,-3)$ に 1 つ、$(2,3)$ にもう 1 つある。$f$ を $[-10,10]$ の範囲で $0.001$ 刻みに走査すると符号の変化はちょうどこの 2 か所だけなので、この 6 次式の実数解は2 個である（残る 4 個は複素数）。正の解を見つけたところで手を止めるのがありがちな失敗で、答えの半分を失う。

4. 4

   各区間を二分法で最後まで詰める。 区間を半分にし、$f$ の符号が変わるほうを残すことを繰り返すと

   $x_{+}\in(2,3)\to 2.982928,\qquad x_{-}\in(-4,-3)\to-3.152475.$

   どちらも約 40 回の二分で $|f|<10^{-11}$ に収束する。よく引かれる値 $2.9833$ はやや粗い。$f(2.9833)\approx +5.04$ であって $0$ ではない。

5. 5

   両方の解を代入し直す。 $x=2.982928$ では $x^{2}=8.897859$、$x^{4}+104x^{2}+40x=79.172+925.377+119.317=1123.87$ であり、その積は $10000.0$ ✓。$x=-3.152475$ では $x^{2}=9.938099$ となり、括弧の中は $1006.23$、やはり積は $10000.0$ ✓。奇数次の $40x^{3}$ の項があるため、2 つの解は対称にならない。