3x⁴ + 18x³ + 38x² + 32x + 12 = 0 を解け。実数解はあるか。

Step-by-step solution

1. 1

   まず見え透いた候補を試し、そして退ける。 係数の並びからは、この 4 次式が $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}$ ではないかと見えるが、その推測は代入すればすぐ確かめられる。

   $f(-1)=3-18+38-32+12=3,\qquad f(-2)=48-144+152-64+12=4.$

   どちらも 0 ではないので、$x=-1$ と $x=-2$ は解ではない。推測した式を展開すればその理由も分かる。$3(x+1)^{2}(x+2)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+39x^{2}+36x+12$ であり、与えられた多項式とは $x^{2}$ の項と $x$ の項が食い違う。

2. 2

   有理数の解をすべて排除する。 有理根定理により、有理数の解は $p\mid 12$ かつ $q\mid 3$ として $\pm\frac{p}{q}$ の形、すなわち $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac43$ のいずれかである。係数がすべて正なので $x\ge 0$ では $f(x)>0$ であり、試す必要があるのは負の候補だけだが、そのどれもが 0 でない値を与える。有理数の解は存在せず、実は有理数係数の二次式への分解も存在しない。

3. 3

   4 次の段階で平方完成する。 $f(x)-3(x^{2}+3x+a)^{2}$ が正定値の二次式になるような定数 $a$ を探す。

   $3(x^{2}+3x+a)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+(27+6a)x^{2}+18ax+3a^{2},$

   なので $a=\tfrac32$ と選ぶと、残りはちょうど次の形になる。

   $f(x)=3\left(x^{2}+3x+\tfrac32\right)^{2}+2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}.$

4. 4

   残った二次式がつねに正であることを示す。 $2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}$ の判別式は

   $25-4(2)\left(\tfrac{21}{4}\right)=25-42=-17<0,$

   であり、その最小値は $\tfrac{21}{4}-\tfrac{25}{8}=\tfrac{17}{8}$ である。前半の項は平方を $3$ 倍したものだから負になることはなく、したがって次が成り立つ。

   $f(x)\ge \tfrac{17}{8}>0\quad\text{すべての実数 }x.$

   0 に決して触れない 4 次式には実数解がない。

5. 5

   4 つの複素数解を数値的に求める。 係数が実数なので解は共役の対で現れる。数値的に解くと

   $x\approx-2.384922\pm 0.678668i,\qquad x\approx-0.615078\pm 0.521776i.$

   解と係数の関係で確かめると、4 つの解の和は $-6=-\tfrac{18}{3}$ ✓、積は $4=\tfrac{12}{3}$ ✓ である。対応する実数係数の因数分解は $3(x^{2}+4.76984x+6.14844)(x^{2}+1.23016x+0.65057)$ で、どちらの因数も有理数係数ではない。