x > 0 の範囲で不等式 x^x > 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域を定める。 $x^{x}$ を通常の意味で実数として定義するには $x>0$ をとる：式 $x^{x}=e^{x\ln x}$ には正の底が必要だからである。（負の底では、分母が奇数の孤立した有理数でしか実数値を与えないので、標準的な読み方では $x>0$ に制限する。）

2. 2

   対数をとる——両辺が正なので正当である。 自然対数は狭義単調増加なので、不等号を保つ：

   $x^{x}>1\iff\ln\!\left(x^{x}\right)>\ln1\iff x\ln x>0$

   ここで $\ln\left(x^{x}\right)=x\ln x$ と $\ln1=0$ を使った。指数の不等式が、積の符号の問題に変わった。

3. 3

   積の符号を調べる。 定義域 $x>0$ では第 1 の因数 $x$ は常に正なので、$x\ln x$ の符号は完全に $\ln x$ で決まる：

   $x\ln x>0\iff\ln x>0\iff x>1$

4. 4

   解集合を述べる。

   $x>1,\qquad\text{すなわち}\qquad(1,\infty)$

   $x=1$ では値が $1^{1}=1$ となって等号が成り立つので、端点は除外される ✓。

5. 5

   1 より下で何が起こるかを確かめる。 $0<x<1$ では $\ln x<0$ なので $x\ln x<0$ となり $x^{x}<1$ である。たとえば $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707<1$ ✓、一方 $1.5^{1.5}\approx1.837>1$ ✓。$(0,4)$ 上の $399$ 個の標本点で直接評価しても、この同値性が確認された ✓。

6. 6

   1 より下の意外な振る舞いに触れておく。 $(0,1)$ では $x^{x}<1$ だが、そこで単調ではない：$x=1/e\approx0.3679$ で最小値 $e^{-1/e}\approx0.6922$ まで落ち込み、$x\to0^{+}$ に向かって再び $1$ へ戻っていく。したがって不等式は $(0,1]$ 全体で成り立たないが、その破れ方は単純な減少ではない。