方程式 2x = 2^x を解け。

Step-by-step solution

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   まず小さい値を試す。 この方程式は 1 次の項と指数の項が混ざっているので、どう式変形しても $x$ を分離できない。整数を代入してみると

   $x=1:\ 2(1)=2\ \text{かつ}\ 2^{1}=2\ \checkmark$

   $x=2:\ 2(2)=4\ \text{かつ}\ 2^{2}=4\ \checkmark$

   となり、どちらも厳密な解である ✓。あとは他に解があるかどうかが問題になる。

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   1 つの関数に読み替える。

   $f(x)=2^{x}-2x$

   とおくと、元の方程式の解はちょうど $f$ の零点である。すでに $f(1)=0$ と $f(2)=0$ が分かっている。

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   凸性を使って解の個数に上限をつける。 関数 $2^{x}$ は 凸 である——2 階導関数 $(\ln2)^{2}2^{x}$ がいたるところ正だからである——のに対し、$2x$ は直線である。直線が狭義凸な曲線と交わる回数は高々 2 回 にとどまる。すでに 2 つの交点が手元にあるので、これ以上は存在しえない。

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   値を拾って形を確かめる。 $f(0)=1-0=1>0$、$f(1.5)=2^{1.5}-3\approx2.828-3=-0.172<0$、$f(3)=8-6=2>0$ ✓。正・負・正という並びは、$f$ が $x=1$ と $x=2$ のあいだでだけ 0 を下回り、その外側では正のままであることを示している。符号の変化はちょうど 2 回、したがって解もちょうど 2 個である。

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   解全体を述べる。

   $x=1\qquad\text{または}\qquad x=2$

   この状況がどれほど特殊かに注目したい。$x=1$ は どの 底 $b$ についても $b^{x}=bx$ を満たす。両辺とも $b$ になるからである。底 $2$ を特別にしているのは 2 つ目 の交点のほうで、$b^{2}=2b$ からは $b=2$ が強制される。つまり整数の相棒を持つ底は他にない。たとえば $b=3$ なら 2 つ目の解は無理数 $x\approx 0.826018$ になる。