a を定数として、不等式 x² > a² を x について解け。

Step-by-step solution

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   「両辺の平方根をとる」と安易に書いてはいけない。 $x>a$ と書くと解が失われ、はっきり偽にもなり得る：$a=-3$ のとき $x=-5$ は $25>9$ を満たすが、$-5>-3$ は成り立たない。$a$ の符号は不明なので、答えはどの $a$ でも通用する形で表さなければならない。

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   すべてを一方に移して因数分解する。 これで符号の問題が、2 つの 1 次式の積の問題に置き換わる：

   $x^{2}-a^{2}>0\qquad\Longrightarrow\qquad(x-a)(x+a)>0$

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   積が正になるのは 2 つの因数の符号が揃うときなので、2 つの分枝をとる。

   $\text{(i) }x-a>0\ \text{かつ}\ x+a>0\quad\Longrightarrow\quad x>a\ \text{かつ}\ x>-a$

   2 つの下限は大きいほうにまとまる：$x>\max(a,-a)=|a|$。

   $\text{(ii) }x-a<0\ \text{かつ}\ x+a<0\quad\Longrightarrow\quad x<a\ \text{かつ}\ x<-a$

   2 つの上限は小さいほうにまとまる：$x<\min(a,-a)=-|a|$。

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   ひとつの主張にまとめる。 2 つの分枝から

   $x^{2}>a^{2}\iff x<-|a|\ \text{ または }\ x>|a|\iff|x|>|a|$

   となるので、解集合は $\left(-\infty,-|a|\right)\cup\left(|a|,\infty\right)$ である。絶対値こそが、この答えを負の $a$ でも有効にしているものであり、それが入り込むのは等式 $\max(a,-a)=|a|$ のところである。

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   符号をまたいで、退化した場合も含めて検証する。 $a$ の値 $19$ 個（正・負・零）それぞれに対し $x$ の値 $31$ 個で、元の不等式と主張した集合を突き合わせると完全に一致する ✓。$a=0$ のとき答えは $|x|>0$、すなわち $0$ を除くすべての $x$ に退化する ✓——$x^{2}>0$ が破れるのは $x=0$ のときだけなので整合的である。