不等式 −2x² + 8 ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗の項を孤立させる。 両辺から $8$ を引く：

   $-2x^{2}\le-8$

2. 2

   $-2$ で割って不等号を反転させる。 不等式を負の数で割る（掛ける）と向きが反転する——この問題を支配しているのはこの規則ひとつである：

   $x^{2}\ge4$

   ここで $\le$ のままにすると、ちょうど正反対の誤答 $-2\le x\le2$ になってしまうので、反転は省略できない。

3. 3

   $x^{2}\ge4$ を距離の条件として解く。 $x^{2}=|x|^{2}$ なので、条件は $|x|\ge2$、つまり点 $x$ が原点から $2$ 以上離れていることである。これが成り立つのは $[-2,2]$ の外側にある 2 本の半直線であって、その間ではない：

   $x\le-2\qquad\text{または}\qquad x\ge2$

4. 4

   解集合を書く。

   $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$

   両端点はどちらも含まれる。$x=\pm2$ で $-2(4)+8=0$ となり、$0\le0$ は真である ✓。

5. 5

   グラフと代入で確かめる。 $y=-2x^{2}+8$ は上に凸の放物線で、$\pm2$ を零点、$(0,8)$ を頂点に持つ。値が 0 以下になるのは、ちょうど零点の外側である。代入すると、$x=0$ では $8\le0$ ✗（正しく除外されている）、$x=3$ では $-18+8=-10\le0$ ✓、$x=-3$ でも $-10\le0$ ✓。元の不等式と主張した集合は、$51$ 個の厳密な有理点で一致する ✓。