x³ + 3x² − 4x − 12 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   4 項の 3 次式では組分けを選ぶ。 4 つの項すべてに共通する因数はないので、2 組に分けて、それぞれの組から同じ 1 次式が残ることに期待する。ここではまさにそうなる。

2. 2

   組にしてそれぞれを因数分解する。

   $\left(x^3+3x^2\right)+\left(-4x-12\right)=x^2(x+3)-4(x+3)$

   後ろの組から $+4$ ではなく $-4$ をくくり出すことが、1 次式を一致させる決め手である。$+4$ をとると代わりに $(-x-3)$ が残ってしまう。

3. 3

   共通の 1 次式をくくり出す。

   $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)\left(x^2-4\right)$

4. 4

   平方の差で仕上げる。 $x^2-4=x^2-2^2$ なので

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   となり、したがって

   $x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$

   である。$(x+3)(x^2-4)$ で止めてしまうのが、この問題で最も多い失点の仕方である。

5. 5

   解を読み取る。 式は $x=-3,\ 2,\ -2$ で 0 になる——相異なる実数解が 3 つあり、3 次式としてすべて出そろっている。

6. 6

   展開して検算する。 もとの式と 3 つの積を $-30$ から $29$ までのすべての整数で比べると完全に一致する ✓。$x=1$ で点検すると $1+3-4-12=-12$、$(4)(-1)(3)=-12$ ✓。