x³ + x² − 4x − 4 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   組分けを選び、なぜそれが正しい道具なのかを見る。 項がちょうど 4 つあり、そのすべてに共通する因数がないとき、2 項ずつ組にするのが定石の第一手である。これがうまくいくのは、2 つの組から 同じ 1 次式が残るときであり、それを次に確かめる。

2. 2

   2 つの組に分ける。

   $x^3+x^2-4x-4=\left(x^3+x^2\right)+\left(-4x-4\right)$

   組にするときに符号を項に付けたままにしておくと、2 番目の組でよくある符号の誤りを防げる。

3. 3

   それぞれの組を因数分解する。 前の組からは $x^2$ を、後ろの組からは（1 次式が一致するように $+4$ ではなく）$-4$ をくくり出す：

   $x^3+x^2=x^2(x+1),\qquad -4x-4=-4(x+1)$

   どちらの組にも $(x+1)$ が残った——組分けは成功である。

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   共通の 1 次式をくくり出す。

   $x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)\left(x^2-4\right)$

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   平方の差で仕上げる。 $x^2-4=x^2-2^2$ なので

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   となり、したがって

   $x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$

   である。$(x+1)(x^2-4)$ で止めると因数分解が不完全なままになる。

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   多くの値で展開して検算する。 もとの 3 次式と積を $-40$ から $39$ までのすべての整数で比べると完全に一致する ✓。解 $-1,\ 2,\ -2$ も直接確かめやすい：$(-1)^3+(-1)^2+4-4=0$、$8+4-8-4=0$、$-8+4+8-4=0$ ✓。