3 次方程式 x³ + 2x² + 7x + 4 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての有理数の候補を試す。 有理根定理より、あり得るのは $4$ の約数だけである：

   $f(1) = 14, \quad f(-1) = -2, \quad f(2) = 34, \quad f(-2) = -10, \quad f(4) = 128, \quad f(-4) = -56$

   どれもゼロにならないので、この 3 次式は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、見ただけで厳密に因数分解する道は無い。

2. 2

   唯一の実数解を挟み込む。 3 次方程式には必ず実数解が少なくとも 1 つある。符号の変化

   $f(-1) = -2 < 0, \qquad f(0) = 4 > 0$

   が解を $(-1, 0)$ に固定する。さらに $f'(x) = 3x^2 + 4x + 7$ の判別式は $16 - 84 < 0$ なので $f' > 0$ が至るところで成り立ち、$f$ は狭義単調増加である。したがって実数解はちょうど 1 つである。

3. 3

   ニュートン法で精密化する。 $x_0 = -0.7$ から $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 7x_n + 4}{3x_n^2 + 4x_n + 7}$ を反復すると、速やかに

   $x_1 \approx -0.6535951654$

   に収束する。40 桁の作業精度では残差は $10^{-39}$ を下回る。（$-0.6954$ のような粗い推定値で止めてしまうのがよくある誤りである。そこでは $f = -0.2369$ であって $0$ ではない。）

4. 4

   実数解を割り出す。 $\left(x - x_1\right)$ による組立除法を行うと、余り無しで 2 次式

   $x^2 + 1.3464048346\,x + 6.1199963094 = 0$

   が残る。ここで係数はそれぞれ $2 + x_1$ と $7 + x_1(2 + x_1)$ である。

5. 5

   2 次方程式を解いて共役な複素数解を得る。 その判別式は負である：

   $\Delta = 1.3464048346^2 - 4(6.1199963094) = -22.6671792591$

   $x = \frac{-1.3464048346 \pm i\sqrt{22.6671792591}}{2} \approx -0.6732024173 \pm 2.3805030592\,i$

6. 6

   解と係数の関係で照合する。 3 つの解は和が $-2$、積が $-4$ にならなければならない：

   $-0.6535951654 + 2(-0.6732024173) = -2.0000000000 \ \checkmark$

   $(-0.6535951654)\left(0.6732024173^2 + 2.3805030592^2\right) = -4.0000000002 \ \checkmark$

   どちらの等式も閉じており、反復計算とは独立に数値が裏づけられる。