3 次方程式 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を列挙する。 $a_nx^n + \dots + a_0$ に対し、有理数解は $p \mid a_0 = 3$、$q \mid a_n = 2$ を満たす $\pm\frac{p}{q}$ の形に限られる。よって候補の全体は

   $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32$

   である。最高次係数が $1$ ではなく $2$ なので、2 分の 1 の形も試さなければならない——これを飛ばすことが、この 3 次式を既約と誤認する原因になる。

2. 2

   候補を試して当たりを見つける。 $x = \tfrac12$ を試すと：

   $2\left(\tfrac18\right) + 3\left(\tfrac14\right) - 8\left(\tfrac12\right) + 3 = \tfrac14 + \tfrac34 - 4 + 3 = 0$

   よって $x = \tfrac12$ は解であり、因数定理から $\left(x - \tfrac12\right)$ ——同じことだが整数係数の因数 $(2x - 1)$ ——がこの 3 次式を割り切る。

3. 3

   分かっている因数で割る。 $2x - 1$ による多項式の割り算（または組立除法）を行うと、余り無しで 2 次式の商が得られる：

   $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)\left(x^2 + 2x - 3\right)$

   余りがゼロであることが、割り算が正しく行われたことの確認になる。

4. 4

   商の 2 次式を因数分解する。 積が $-3$、和が $+2$ となる 2 数は $+3$ と $-1$ である：

   $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

   $\Longrightarrow \quad 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(x + 3)(x - 1)$

5. 5

   各因数を 0 と置いて検算する。

   $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac12, \qquad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   代入して確かめると、$x=-3$ では $-54 + 27 + 24 + 3 = 0$、$x=1$ では $2 + 3 - 8 + 3 = 0$ となる。解の和は $-3 + \tfrac12 + 1 = -\tfrac32 = -\tfrac{a_2}{a_3}$、積は $-\tfrac32 = -\tfrac{a_0}{a_3}$ であり、どちらも解と係数の関係に一致する。