方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 1 を解け。

Step-by-step solution

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   すべてを一方に移してから有理根を調べる。 方程式は $x^3 - 6x^2 + 11x - 7 = 0$ なので、有理根の候補は $7$ の約数である：

   $f(1) = -1, \quad f(-1) = -25, \quad f(7) = 119, \quad f(-7) = -721$

   どれも消えない。$-6$ を $-7$ に変えたことが、もとの左辺がもっていたきれいな因数分解を壊していることに注意したい——$x = 1$ はいまや、ちょうど $1$ だけ足りない。

2. 2

   左辺の構造を利用する。 そこに現れている多項式は、連続する 3 つの 1 次因数の積という定番の形である：

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

   つまり方程式は実質 $(x-1)(x-2)(x-3) = 1$ である——1 ずつ離れた 3 つの因数の積が $1$ になる、という形である。

3. 3

   真ん中の因数を中心に置換する。 $y = x - 2$ と置くと、3 つの因数は $y+1$、$y$、$y-1$ になる：

   $(y+1)\,y\,(y-1) = y\left(y^2-1\right) = y^3 - y$

   $\Longrightarrow \quad y^3 - y = 1, \quad \text{すなわち} \quad y^3 - y - 1 = 0$

   因数の対称の中心へずらすことで、2 次の項がただで消える——カルダノの簡約計算をする必要はない。

4. 4

   簡約 3 次式の実数解の個数を数える。 $p = -1$、$q = -1$ とした $y^3 + py + q$ について、判別式は

   $\Delta = -4p^3 - 27q^2 = 4 - 27 = -23 < 0$

   なので、$y^3 - y - 1 = 0$ は実数解をちょうど 1 つと共役な複素数解の組をもつ。その実数解がプラスチック数 $\rho$ である。

5. 5

   実数解を評価する。 カルダノの公式から

   $\rho = \sqrt[3]{\frac12 + \sqrt{\frac{23}{108}}} + \sqrt[3]{\frac12 - \sqrt{\frac{23}{108}}} = 1.3247179572\ldots$

   $y_0 = 1.3$ から $y^3 - y - 1$ にニュートン法を適用しても 39 桁まで同じ値が返るので、2 つの経路は一致する。

6. 6

   置換を戻して検算する。 $x = y + 2$ なので、

   $x = 2 + \rho \approx 3.3247179572$

   もとの式に代入すると $(x-1)(x-2)(x-3) \approx (2.3247)(1.3247)(0.3247) = 1.0000$ となり、$x^3-6x^2+11x-6$ を 40 桁精度で評価すると $0.99999999999999999999999999999999999999$ になる。実数解はこの 1 つだけである。