不等式 x² · x − 5 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず式を整理する。 同じ底の冪の積は指数を足す：$x^2\cdot x=x^{2+1}=x^3$。したがってこの不等式は 2 次ではなく 3 次である：

   $x^3-5>0$

   $x^2x$ を $x^2$ や $2x^2$ と読み違えると、問題そのものが変わってしまう。

2. 2

   3 次の項を孤立させる。 両辺に $5$ を足す：

   $x^3>5$

3. 3

   両辺の立方根をとる。 ここが 2 乗との決定的な違いである：写像 $t\mapsto t^3$ は**$\mathbb{R}$ 全体で狭義単調増加**かつ 1 対 1 なので、立方根をとっても不等号は保たれ、$\pm$ も場合分けも要らない：

   $x>\sqrt[3]{5}$

   対照的に $x^2>5$ なら、$x>\sqrt5$ または $x<-\sqrt5$ という 2 部構成の答えになる。

4. 4

   境界の値を求める。

   $\sqrt[3]{5}=1.709976\ldots\approx1.71$

   大きさの手早い確認：$1.7^3=4.913$（$5$ をわずかに下回る）、$1.71^3=5.000211$（わずかに上回る）なので、立方根はこの 2 数の間にある ✓。

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   解集合を書く。 不等号が狭義なので、左が開いたひとつの半直線になる：

   $x>\sqrt[3]{5},\qquad\left(\sqrt[3]{5},\ \infty\right)$

6. 6

   走査して検証する。 $-5$ から $5$ までの $10{,}001$ 点で $x^3-5$ を評価し、符号を $x>\sqrt[3]{5}$ と比べると、すべての点で一致する ✓——3 次式が大きく負になり正しく除外される負の側も含めてである。