x² の 15 分の 1 が、x の 6 分の 1 と 10 分の 1 の和に等しい。x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母の最小公倍数を求める。 分母は $15=3\cdot 5$、$6=2\cdot 3$、$10=2\cdot 5$ なので、最小公倍数は $2\cdot 3\cdot 5=30$ である。$15\cdot 6\cdot 10=900$ ではなく $30$ を掛けることで、数を小さく保てる。

2. 2

   各項を 30 倍する。

   $30\cdot\frac{x^2}{15}=2x^2,\qquad 30\cdot\frac{x}{6}=5x,\qquad 30\cdot\frac{1}{10}=3$

   よって方程式は $2x^2=5x+3$ になる。

3. 3

   標準形に整える。

   $2x^2-5x-3=0$

4. 4

   中央の項を分けて因数分解する。 積が $2\cdot(-3)=-6$、和が $-5$ となる 2 数が必要で、それは $-6$ と $+1$ である：

   $2x^2-6x+x-3=2x(x-3)+1(x-3)=(2x+1)(x-3)=0$

5. 5

   各因数を解いて検算する。

   $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $x=3$ の検算：$\frac{9}{15}=0.6$、$\frac36+\frac{1}{10}=0.5+0.1=0.6$ ✓。$x=-\frac12$ の検算：$\frac{1/4}{15}=\frac{1}{60}$、$-\frac{1}{12}+\frac{1}{10}=\frac{-5+6}{60}=\frac{1}{60}$ ✓。