不等式 −x² + 6x − 10 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の係数が正になるよう反転させる。 $-1$ を掛けて不等号の向きを変える：

   $x^2-6x+10<0$

2. 2

   判別式で実数解の有無を調べる。 $a=1$、$b=-6$、$c=10$ なので：

   $\Delta=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4<0$

   判別式が負であることは、この放物線が $x$ 軸を決して横切らないこと、したがって式の符号が変わらないことを意味する。

3. 3

   その唯一の符号を決める。 $a=1>0$ なので放物線は下に凸で、全体が軸より上にある。平方完成すればそれが明示される：

   $x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1>0$

   最小値は $1$ で、$x=3$ で達成される。

4. 4

   結論を出す。 常に $1$ 以上である式が $<0$ になることは決してないので、解集合は空である：

   $x\in\varnothing$

5. 5

   元の形でも直接確かめる。 すべての実数 $x$ に対して $-x^2+6x-10=-\left[(x-3)^2+1\right]\le-1<0$ なので、この式が正になることはない $\checkmark$。頂点 $x=3$ を抜き取って確かめると $-9+18-10=-1$ で、これが左辺の取り得る最大の値である。