不等式 −7 > 3x(x − 2) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺を展開する。

   $3x(x-2)=3x^2-6x\quad\Longrightarrow\quad -7>3x^2-6x$

2. 2

   標準形に整理する。 $x^2$ の係数が正のままになる側にすべてを移す。$-7$ を引いて読み方を入れ替えると

   $3x^2-6x+7<0$

   が得られる。（$-7>E$ を $E<-7$ と読むのは同じ主張を式のほうから書いただけである。）

3. 3

   判別式を計算する。 $a=3$、$b=-6$、$c=7$ として

   $\Delta=(-6)^2-4(3)(7)=36-84=-48<0$

   実数解がないので、どこでも符号は変わらない。

4. 4

   符号が一定であることを押さえる。 $a=3>0$ なので放物線は下に凸で、軸より上にとどまり続ける。平方完成すればそれが量としても見える。

   $3x^2-6x+7=3(x-1)^2+4\ge 4$

5. 5

   結論して確かめる。 つねに $4$ 以上である量が負になることはないので、この不等式には解が存在しない。頂点 $x=1$ で抜き取り検算すると $3(1)(1-2)=-3$ であり、$-7>-3$ は偽である $\checkmark$。もっとも有利な点でさえ不等式は成り立たない。