不等式 36 - 36k² > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   共通の正の定数をくくり出す。

   $36\left(1-k^2\right)>0$

   $36>0$ なので両辺を $36$ で割っても安全で、向きも変わらない。

   $1-k^2>0$

2. 2

   2 乗の比較の形に直す。 両辺に $k^2$ を足すと

   $k^2<1$

   となる。

3. 3

   $k^2<1$ を正しく読み替える。 不等式の平方根をとるのは記号を 1 対 1 に置き換える操作ではない。正しい読み方は絶対値を経由するものである。

   $k^2<1\iff|k|<1\iff -1<k<1$

   $k<1$ とだけ書くと $k=-5$ を誤って含めてしまう。その 2 乗は $25$ である。

4. 4

   因数分解でも突き合わせる。 $1-k^2=(1-k)(1+k)$ であり、これが正になるのは 2 つの因数の符号が揃うときに限る——それが起こるのは $-1<k<1$ のときだけである $\checkmark$。

5. 5

   各領域で試す。 $k=0$ では $36>0$ $\checkmark$。$k=2$ では $36-144=-108\not>0$ $\checkmark$。$k=\pm 1$ では $36-36=0$ となり $>0$ ではないので、端点は除外される。この不等式は判別式に関する多くの問題で現れる「$\Delta>0$」という条件そのものであり、そこでは $36-36k^2$ が $b^2-4ac$ として登場する。