不等式 x² − 4x − 5 < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   試験点を当てずっぽうに選ぶ前に因数分解する。 積が $-5$、和が $-4$ になる 2 数を探すと $-5$ と $+1$ の組が当てはまるので

   $x^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)$

   となる。展開して戻すと $x^{2}+x-5x-5=x^{2}-4x-5$ ✓ であり、この恒等式は $-20$ から $19$ までのすべての整数で確かめられている。

2. 2

   解、つまり符号が変わりうる唯一の場所を求める。 実数の因数の積が 0 になるのは、ちょうどどれかの因数が 0 になるときである。

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   多項式は連続なので、正と負を行き来できるのはこの 2 点のどちらかを通るときだけである。

3. 3

   すべての区間を試すのではなく、開く向きを使う。 最高次の係数は $a=1>0$ なので放物線は下に凸であり、2 解の間で軸より下に沈み、外側では軸より上に上がる。求めているのは $<0$ なので、解は内側の領域である。

   $-1<x<5$

4. 4

   区間ごとに 1 点で確かめる。 $x=-2$ では $(-7)(-1)=7>0$ ✗。$x=0$ では $(-5)(1)=-5<0$ ✓。$x=6$ では $(1)(7)=7>0$ ✗。符号の並びは $+,-,+$ であり、下に凸の放物線の規則が予測するとおりである。

5. 5

   答えを述べ、等号を含まないことに注意する。 区間で書けば $(-1,5)$ で、両端点は除かれる。$x=-1$ と $x=5$ では式が $0$ に等しく、$0<0$ は偽だからである。$-10$ から $15$ までの $250$ 個の厳密な有理点でもとの不等式をこの区間と突き合わせると、どこでも一致する ✓。

6. 6

   不等号を逆にした場合と比べる。 解が同じなので、$x^{2}-4x-5>0$ の解は補集合となる $x<-1$ または $x>5$、すなわち外向きの 2 本の半直線である。不等号の向きを変えると内側と外側が入れ替わる。また頂点の $x=2$ では最小値 $4-8-5=-9$ をとる。