t は正とする。−t² − 6t + 28 = 0 を t について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   負の最高次係数を払う。 方程式に $-1$ を掛けても解集合は何も変わらず（不等式とは違う）、以降の符号がすべて扱いやすくなる：

   $-t^2-6t+28=0\quad\Longleftrightarrow\quad t^2+6t-28=0$

2. 2

   判別式を計算する。 $a=1$、$b=6$、$c=-28$ なので、

   $\Delta=6^2-4(1)(-28)=36+112=148$

   $\Delta>0$ なので相異なる 2 つの実数解を持ち、$148=4\cdot 37$ は平方数ではないので、その解は無理数になる。

3. 3

   割る前に根号を簡単にする。

   $\sqrt{148}=\sqrt{4\cdot 37}=2\sqrt{37}$

   ここで $2$ を外に出しておくことが、次の段階で式全体がきれいに約分される理由である。

4. 4

   解の公式を適用して約分する。

   $t=\frac{-6\pm 2\sqrt{37}}{2}=-3\pm\sqrt{37}$

   $-6$ と $2\sqrt{37}$ の両方を $2$ で割る——片方だけを半分にしてしまうのがよくある誤りである。

5. 5

   条件 $t>0$ で解を選ぶ。 $\sqrt{37}\approx 6.0828$ なので：

   $-3+\sqrt{37}\approx 3.0828>0,\qquad -3-\sqrt{37}\approx -9.0828<0$

   残るのは前者だけである。（解と係数の関係とも整合する：2 解の積は $-28<0$ なので、正の解はちょうど 1 つである。）

6. 6

   検算する。 $t=-3+\sqrt{37}$ のとき $t^2=9-6\sqrt{37}+37=46-6\sqrt{37}$ なので、

   $-t^2-6t+28=-46+6\sqrt{37}+18-6\sqrt{37}+28=0$

   となり、厳密に 0 になる。$t=-3+\sqrt{37}\approx 3.0828$ が確かめられた。