不等式 55(x² − 25) > 35(24² − 25) を解け。厳密な境界と、その小数値を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定数の側を計算してしまう。 右辺には未知数がないので、$x$ に手をつける前に 1 つの数にまとめる。

   $24^{2}=576,\qquad 576-25=551,\qquad 35\times551=19285.$

   これで不等式は $55\left(x^{2}-25\right)>19285$ になる。先にこうしておくと、あとの計算が何度もの割り算ではなく 1 回の割り算で済む。

2. 2

   正の係数で割る。 $55>0$ だから、両辺を割っても向きは保たれる。

   $x^{2}-25>\frac{19285}{55}=\frac{3857}{11}.$

   この分数は $5$ で約分でき（$19285=5\times3857$、$55=5\times11$）、それ以上は約分できない。$3857=7\times19\times29$ であり、$11$ と共通の因数をもたないからである。厳密なまま保つことで、最後の境界を丸めずに済む。

3. 3

   $x^{2}$ だけを残す。 両辺に $25=\tfrac{275}{11}$ を足すと

   $x^{2}>\frac{3857}{11}+\frac{275}{11}=\frac{4132}{11}\approx375.636.$

4. 4

   2 乗の不等式を両方の枝で解く。 正の定数 $c$ に対して、$x^{2}>c$ が成り立つのは区間 $\left[-\sqrt c,\sqrt c\right]$ の外側である。

   $x<-\sqrt{\frac{4132}{11}}\quad\text{または}\quad x>\sqrt{\frac{4132}{11}}.$

   $x>\sqrt c$ だけを書くと負の枝がまるごと落ちる。この型でいちばん多い誤りである。

5. 5

   根号を簡約して確かめる。 $4132=4\times1033$ なので、分母を有理化すると

   $\sqrt{\frac{4132}{11}}=\frac{2\sqrt{1033}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11363}}{11}\approx19.3813.$

   検算すると、$x=19.5$ では $55(380.25-25)=19538.75>19285$ ✓、$x=19.3$ では $55(372.49-25)=19111.95$ となって成り立たない ✓。対称性から $x=-19.5$ は成り立ち、$x=-19.3$ は成り立たない ✓。