2 次方程式 −10x² + 5x + 19 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   係数をそのまま読み取る。 $a = -10$、$b = 5$、$c = 19$ であり、先に $-1$ を掛けておく必要はない——$2a$ に符号をきちんと持ち込みさえすれば、解の公式は最高次係数が負でもそのまま使える。

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   判別式を計算する。

   $b^2 - 4ac = 25 - 4(-10)(19) = 25 + 760 = 785$

   正なので相異なる 2 つの実数解を持つ。符号ミスが紛れ込みやすいのは $-4ac$ の二重の負号である：$-4 \times (-10) \times 19$ は $-760$ ではなく $+760$ である。

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   根号が簡単になるか調べる。 $785 = 5 \times 157$ であり $157$ は素数である。どちらの因数も重複していないので、$\sqrt{785}$ から外に出せる平方因数は無く、そのままの形で残る。数値では $\sqrt{785} \approx 28.017851$ である。

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   公式を適用して符号を整理する。

   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{2(-10)} = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{-20} = \frac{5 \mp \sqrt{785}}{20}$

   $\pm$ はどちらの符号も覆っているので、これは $\dfrac{5 \pm \sqrt{785}}{20}$ と同じ集合である。

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   値を求め、解と係数の関係で検算する。

   $x_1 = \frac{5 + 28.017851}{20} \approx 1.650893, \qquad x_2 = \frac{5 - 28.017851}{20} \approx -1.150893$

   和は $0.500000 = -\tfrac{b}{a} = \tfrac{5}{10}$、積は $-1.900000 = \tfrac{c}{a} = \tfrac{19}{-10}$ である。$x_1$ を 2 次式に代入すると、$4 \times 10^{-15}$ の範囲で $0$ が返る。