解の公式を使って、4x² + 20x + 21 = 0 の 2 つの解を求めよ。

Step-by-step solution

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   方程式を標準形に当てはめる。 $4x^{2}+20x+21=0$ を $ax^{2}+bx+c=0$ と比べると $a=4$、$b=20$、$c=21$ である。最高次の係数が $1$ ではないので見ただけの因数分解はやりにくく、公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ が最短の道である。

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   まず判別式を計算する。 $b^{2}-4ac=20^{2}-4(4)(21)=400-336=64 .$ 正なので相異なる実数解が 2 つあり、しかも平方数なので解は有理数になる。

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   公式に代入する。 $\sqrt{64}=8$ で $2a=8$ なので、$x=\frac{-20\pm 8}{8}.$

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   複号を 2 つの解に分ける。 プラスをとると $x=\frac{-20+8}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac32$。マイナスをとると $x=\frac{-20-8}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$。

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   2 つの解を代入して確かめる。 $x=-\frac32$ のとき：$4\cdot\frac94-30+21=9-30+21=0$。$x=-\frac72$ のとき：$4\cdot\frac{49}{4}-70+21=49-70+21=0$。どちらもちょうど成り立ち、和 $-5$ は $-b/a=-20/4$ に、積 $\frac{21}{4}$ は $c/a$ に一致する。