|x + 66| = |x - 88| を解け。

Step-by-step solution

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   それぞれの辺を距離に読み替える。 $|x+66|=|x-(-66)|$ は $x$ から $-66$ までの距離、$|x-88|$ は $x$ から $88$ までの距離である。したがってこの方程式は $x$ が $-66$ からも $88$ からも等距離にある と述べている。

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   中点の近道を使う。 相異なる 2 点から等距離にある点は数直線上でちょうど 1 つ、その中点である。

   $x=\frac{-66+88}{2}=\frac{22}{2}=11$

   この 1 行が、いつもの 2 通りの場合分けを置き換える。

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   代数的な方法と突き合わせる。 絶対値を外すと 2 つの場合になる。場合 1：$x+66=x-88$ は $66=-88$ に帰着して不可能なので解はない（2 つの中身の $x$ の係数が等しいときは必ずこうなる）。場合 2：$x+66=-(x-88)=-x+88$ から $2x=22$、$x=11$ ✓ ——同じ答えである。

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   一方の場合が消えた理由を押さえる。 どちらの式も $x$ の係数が $+1$ なので、等号で結ぶと変数が完全に消え、偽の数値の主張だけが残る。解を生みうるのは符号を反転させた場合だけであり、だからこそ答えは 2 点ではなく 1 点になる。

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   代入して検証する。

   $|11+66|=|77|=77,\qquad |11-88|=|-77|=77$

   両辺とも $77$ になる ✓。$[-200,200]$ 上の厳密な有理点 $40{,}001$ 個を走査しても解は $x=11$ ただ 1 つであり ✓、$11$ から $-66$ までと $88$ までの距離は確かにどちらも $77$ である ✓。