|2x + 3| = 6x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず非負であるという制約を課す。 左辺は絶対値なので決して負にならない。したがって右辺も

   $6x\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad x\ge0$

   を満たさねばならない。この制約は形式的な確認ではない——2 つの場合のうち一方を不可能にしているのがまさにこれであり、忘れると偽の 2 つ目の答えが生まれる。

2. 2

   場合 1：中身が非負、すなわち 2x + 3 ≥ 0 のとき。 このとき $|2x+3|=2x+3$ なので

   $2x+3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad 3=4x\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac34$

   となる。

3. 3

   候補を 2 つの条件に照らして確かめる。 中身：$2\left(\tfrac34\right)+3=\tfrac92\ge0$ ✓ で、場合の仮定と整合する。全体の制約：$x=\tfrac34\ge0$ ✓。よって $x=\tfrac34$ は本物の解である。

4. 4

   場合 2：中身が負、すなわち 2x + 3 < 0 のとき。 このとき $|2x+3|=-(2x+3)$ なので

   $-2x-3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad -3=8x\qquad\Longrightarrow\qquad x=-\frac38$

   となる。

5. 5

   2 つ目の候補を二重に退ける。 まず全体の制約 $x\ge0$ を満たさない。$-\tfrac38<0$ だからである。さらに自分の場合の条件も満たさない。$2\left(-\tfrac38\right)+3=\tfrac94>0$ で負ではないからである。直接代入しても確認できる。$\left|2\left(-\tfrac38\right)+3\right|=\tfrac94$ だが $6\left(-\tfrac38\right)=-\tfrac94$ であり、$\tfrac94\neq-\tfrac94$ である。これは無縁解である。

6. 6

   答えを述べて検証する。 解はただ 1 つ

   $x=\frac34$

   である。確認すると $\left|2\left(\tfrac34\right)+3\right|=\left|\tfrac92\right|=\tfrac92$、$6\left(\tfrac34\right)=\tfrac92$ ✓。$[-3,3]$ 上の厳密な有理点 $6001$ 個を走査しても、解は $\tfrac34$ ただ 1 つである ✓。