|2a + 7| + |2a - 1| = 8 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   折れ点を求める。 それぞれの絶対値は、中身が 0 になるところで式が切り替わる。

   $2a+7=0\Rightarrow a=-\frac72,\qquad 2a-1=0\Rightarrow a=\frac12$

   これらが数直線を $a<-\tfrac72$、$-\tfrac72\le a<\tfrac12$、$a\ge\tfrac12$ の 3 つに分ける。

2. 2

   解く前に答えの形を予想する。 $|2a+7|+|2a-1|=2\left(\left|a+\tfrac72\right|+\left|a-\tfrac12\right|\right)$ である。つまり $a$ から $-\tfrac72$ までと $\tfrac12$ までの距離の和の 2 倍である。この 2 点の間隔は $4$ なので、左辺の取りうる最小値は $2\times4=8$ ——ちょうど右辺と同じである。したがってこの方程式は 最小値 を問うており、それは孤立した点ではなく線分全体で達成される。

3. 3

   場合 1：a < −7/2（どちらの中身も負）。 このとき

   $(-2a-7)+(-2a+1)=-4a-6=8\Rightarrow-4a=14\Rightarrow a=-\frac72$

   となるが、これは狭義の条件 $a<-\tfrac72$ に反するので、この場合から新たな解は出ない（値 $-\tfrac72$ は場合 2 で拾われる）。

4. 4

   場合 2：−7/2 ≤ a < 1/2（符号が混在）。 ここでは $|2a+7|=2a+7$、$|2a-1|=-2a+1$ なので、$a$ の項が打ち消し合う。

   $(2a+7)+(-2a+1)=8$

   これは恒等式 $8=8$ に帰着し、この区間の すべての $a$ で成り立つ。したがって区間 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ の全体が解になる。

5. 5

   場合 3：a ≥ 1/2（どちらの中身も非負）。

   $(2a+7)+(2a-1)=4a+6=8\Rightarrow a=\frac12$

   これは $a\ge\tfrac12$ を満たすので、$a=\tfrac12$ も解に含まれる。

6. 6

   場合を合わせて答えを述べる。 場合 2 から $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ が得られ、場合 3 が端点 $\tfrac12$ を加える。

   $-\frac72\le a\le\frac12$

   この閉区間の外では左辺が $8$ を超えるので、ほかに当てはまるものはない。

7. 7

   走査して検証する。 $-6$ から $6$ まで $12001$ 点で左辺を計算すると、値が $8$ になるのはちょうど $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right]$ の点だけで、それ以外ではすべて真に大きくなる ✓。