不等式 |x + 1| + |x + 2| > 3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   折れ点を求める。 それぞれの絶対値は中身が 0 になるところで式が切り替わる。

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2$

   この 2 点が数直線を $x<-2$、$-2\le x<-1$、$x\ge-1$ の 3 つの区間に切り分ける。各区間では 2 つの絶対値をただの 1 次式に置き換えられる。

2. 2

   場合 1：x < −2（中身はどちらも負）。 このとき $|x+1|=-x-1$、$|x+2|=-x-2$ なので

   $-2x-3>3\Rightarrow -2x>6\Rightarrow x<-3$

   となる。$-2$ で割るので不等号は 反転する。$x<-3$ を場合の条件 $x<-2$ と重ねると $x<-3$ が残る。

3. 3

   場合 2：−2 ≤ x < −1（符号が混在）。 ここでは $|x+1|=-x-1$ だが $|x+2|=x+2$ で、$x$ の項が打ち消し合う。

   $(-x-1)+(x+2)=1>3$

   これはこの区間の どの $x$ でも偽なので、真ん中の帯からは何も得られない。図形的には、折れ点のあいだでは 2 つの距離の和が一定の $1$ になっている。

4. 4

   場合 3：x ≥ −1（中身はどちらも非負）。 このとき

   $(x+1)+(x+2)=2x+3>3\Rightarrow 2x>0\Rightarrow x>0$

   となる。$x\ge-1$ と重ねると $x>0$ が残る。

5. 5

   場合を合わせる。

   $x<-3\quad\text{または}\quad x>0,\qquad\text{つまり}\qquad(-\infty,-3)\cup(0,\infty)$

6. 6

   答えを距離として読み、検証する。 $|x+1|+|x+2|$ は $x$ から $-1$ までと $-2$ までの距離の合計である。その最小値は間隔 $1$ で、真ん中の区間全体で達成される。外側では 1 単位につき $2$ ずつ増えるので、$3$ に達するのは各折れ点のちょうど 1 単位外側、$x=-3$ と $x=0$ である。確認すると $x=-3$ で $|{-2}|+|{-1}|=3$ ✓、$x=0$ で $|1|+|2|=3$ ✓ であり、$-8$ から $8$ までの $1601$ 点を走査してもすべての点で示した解集合と一致する ✓。