不等式 |x - 2| + |x - 5| > 7 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   折れ点を求めて数直線を分ける。 それぞれの絶対値は中身が 0 になるところで式が切り替わる。$x=2$ と $x=5$ である。そこで $x<2$、$2\le x<5$、$x\ge5$ を考える。各区間では 2 つの絶対値がどちらも 1 次式になる。

2. 2

   場合 1：x < 2（中身はどちらも負）。 このとき $|x-2|=2-x$、$|x-5|=5-x$ なので和は $7-2x$ である。

   $7-2x>7\qquad\Longrightarrow\qquad -2x>0\qquad\Longrightarrow\qquad x<0$

   $-2$ で割るので不等号は 反転する。$x<0$ を $x<2$ と重ねると $x<0$ が残る。

3. 3

   場合 2：2 ≤ x < 5（符号が混在）。 ここでは $|x-2|=x-2$、$|x-5|=5-x$ で、$x$ の項が打ち消し合う。

   $(x-2)+(5-x)=3>7$

   この区間のどの $x$ でも偽なので、真ん中の帯からは何も得られない。折れ点のあいだでは和は 一定 で $3$ ——$2$ から $5$ までの距離である。

4. 4

   場合 3：x ≥ 5（中身はどちらも非負）。 和は $(x-2)+(x-5)=2x-7$ である。

   $2x-7>7\qquad\Longrightarrow\qquad 2x>14\qquad\Longrightarrow\qquad x>7$

   $x\ge5$ と重ねると $x>7$ が残る。

5. 5

   場合を合わせる。

   $x<0\quad\text{または}\quad x>7,\qquad(-\infty,0)\cup(7,\infty)$

6. 6

   距離の読み方で裏を取る。 $|x-2|+|x-5|$ は $x$ から $2$ までと $5$ までの距離の合計である。その最小値は間隔 $3$ で、$[2,5]$ の全体で達成される。外側では 1 単位につき $2$ ずつ増える。$7$ に届くには余分に $7-3=4$ が必要、すなわち折れ点から $2$ 単位外側なので、境界は $2-2=0$ と $5+2=7$ になる ✓。確認すると $x=0$ で $|{-2}|+|{-5}|=7$、$x=7$ で $|5|+|2|=7$ であり、どちらも狭義の不等号によって除外される。$[-20,20]$ 上の厳密な有理点 $4001$ 個を走査しても、すべての点で一致する ✓。