不等式 |x - 1| + |x + 1| < 4 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   折れ点を求める。 それぞれの絶対値は中身が 0 になるところで式が切り替わる。$x=1$ と $x=-1$ である。これらが数直線を $x<-1$、$-1\le x<1$、$x\ge1$ に分け、各区間では 2 つの絶対値がただの 1 次式になる。

2. 2

   場合 1：x < −1（中身はどちらも負）。 このとき $|x-1|=1-x$、$|x+1|=-x-1$ で、その和は $-2x$ である。

   $-2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x>-2$

   $-2$ で割るので不等号は 反転する。$x>-2$ を場合の条件 $x<-1$ と重ねると $-2<x<-1$ が得られる。

3. 3

   場合 2：−1 ≤ x < 1（符号が混在）。 ここでは $|x-1|=1-x$、$|x+1|=x+1$ で、$x$ の項が打ち消し合う。

   $(1-x)+(x+1)=2<4$

   つねに成り立つので、区間 $[-1,1)$ の全体が解に属する。折れ点のあいだでは和は 一定 で $2$ である。

4. 4

   場合 3：x ≥ 1（中身はどちらも非負）。 和は $(x-1)+(x+1)=2x$ である。

   $2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x<2$

   $x\ge1$ と重ねると $1\le x<2$ が得られる。

5. 5

   3 つの場合を合わせる。

   $(-2,-1)\cup[-1,1)\cup[1,2)=(-2,2)$

   3 つの断片は折れ点で切れ目なくつながり、1 つの区間になる。

   $-2<x<2$

6. 6

   答えを距離として読み、検証する。 $|x-1|+|x+1|$ は $x$ から $1$ までと $-1$ までの距離の合計である。その最小値は 2 点の間隔 $2$ で、あいだのどこでも達成される。外側では 1 単位につき $2$ ずつ増える。したがって $4$ に達するのは各折れ点からちょうど 1 単位外側——$x=-2$ と $x=2$ である。確認すると $x=-2$ で $|{-3}|+|{-1}|=4$ ✓、$x=2$ で $|1|+|3|=4$ ✓ であり、どちらも狭義の不等号によって除外される。$[-6,6]$ 上の $12{,}001$ 点を走査しても、すべての点で $(-2,2)$ と一致する ✓。