不等式 2 < |x + 1| ≤ 3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   はさみうちの形を 2 つの条件に分ける。 絶対値についての二重不等式は、実のところ共通部分である：

   $|x+1|>2\qquad\textbf{かつ}\qquad |x+1|\le3$

   この 2 つは逆向きに働く——「より大きい」は外へ開き、「より小さい」は内へ閉じる——ので、別々に解いてから共通部分をとらなければならない。

2. 2

   「より大きい」の部分を解く。 $|A|>c$（$c>0$）は $A>c$ または $A<-c$ を意味する：

   $x+1>2\ \text{または}\ x+1<-2\qquad\Longrightarrow\qquad x>1\ \text{または}\ x<-3$

   これは 2 本の半直線の和集合であり、$-1$ から遠い点の集まりである。

3. 3

   「以下」の部分を解く。 $|A|\le c$ は $-c\le A\le c$ を意味する：

   $-3\le x+1\le3\qquad\Longrightarrow\qquad -4\le x\le2$

   これは 1 本の帯であり、$-1$ に近い点の集まりである。

4. 4

   2 つの結果を 1 つずつ突き合わせる。 それぞれの半直線を帯と交える：

   • $x>1$ と $-4\le x\le2$ から $1<x\le2$
   • $x<-3$ と $-4\le x\le2$ から $-4\le x<-3$
5. 5

   答えを距離の条件として読む。 $|x+1|$ は $x$ から $-1$ までの距離なので、この不等式は距離が $2$ より大きくかつ $3$ 以下である点を求めている——数直線の上の円環である。両側がそれぞれ長さ $1$ の区間を 1 つずつ受け持つ：

   $[-4,-3)\cup(1,2]$

   かっこの向きに注意したい。外側の端は閉じ（$\le3$ による）、内側の端は開く（狭義の $>2$ による）。

6. 6

   走査して検証する。 $[-6,6]$ 上の $x$ について $12{,}001$ 個の厳密な有理数値を試すと、不等式 $2<|x+1|\le3$ はちょうど $[-4,-3)\cup(1,2]$ の点でのみ成り立ち、それ以外では成り立たない ✓。端点の確認：$x=-4$ では $|x+1|=3$ ✓ で含まれ、$x=-3$ では $|x+1|=2$ ✗ で除かれる。