不等式 |3x + 1| - 2x < |x - 4| + 5 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   折れ点を求める。 それぞれの絶対値は中身が 0 になるところで式が切り替わる。$3x+1=0$ は $x=-\frac13$、$x-4=0$ は $x=4$ である。この 2 点が数直線を 3 つの範囲に切り分け、各範囲では 2 つの絶対値記号をどちらも符号を固定して外せる。

2. 2

   場合 1：$x<-\frac13$。 中身はどちらも負なので $|3x+1|=-3x-1$、$|x-4|=-x+4$ である。

   $(-3x-1)-2x<(-x+4)+5\quad\Rightarrow\quad -5x-1<-x+9\quad\Rightarrow\quad -10<4x\quad\Rightarrow\quad x>-\frac52$

   $x<-\frac13$ と重ねると $-\frac52<x<-\frac13$ が得られる。

3. 3

   場合 2：$-\frac13\le x<4$。 ここでは $3x+1\ge 0$ だが $x-4<0$ である。

   $3x+1-2x<-x+4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<-x+9\quad\Rightarrow\quad 2x<8\quad\Rightarrow\quad x<4$

   これはいま考えている範囲そのものなので、区間 $\left[-\frac13,4\right)$ の全体が条件を満たす。

4. 4

   場合 3：$x\ge 4$。 中身はどちらも非負である。

   $3x+1-2x<x-4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<x+1$

   両辺が 恒等的に等しく、数が自分自身より真に小さくなることはない。したがってこの場合からは何も得られない——なお $<$ の代わりに $\le$ であれば、半直線 $x\ge 4$ の全体が該当していた。

5. 5

   場合を合わせる。

   $\left(-\tfrac52,-\tfrac13\right)\cup\left[-\tfrac13,4\right)=\left(-\tfrac52,4\right)$

   折れ点 $-\frac13$ は合併した区間の内部にあるので、そこで何かが失われることはない。

6. 6

   境界と内部の点を 1 つ試す。 $x=-\frac52$ では両辺とも $\frac{23}{2}$ になるので狭義の不等式は成り立たず、端点は除外される。$x=4$ では両辺とも $5$ になり、これも除外されて場合 3 と整合する。$x=0$ では左辺 $=1$、右辺 $=9$ で $1<9$ が成り立つ ✓。解は $-\frac52<x<4$ である。