3x + 5 = −2|x − 1| を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺の符号を使って手間を削る。 絶対値は決して負にならないので $|x-1|\ge0$、したがって $-2|x-1|\le0$ である。左辺もこれに合わなければならない：

   $3x+5\le0\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac53$

   この 1 行だけで、場合分けをする前に数直線のほとんどが消える。とくに $x<1$ であることが保証される。

2. 2

   場合を 1 つに絞る。 どの候補も $x\le-\tfrac53<1$ を満たすので、絶対値の中身は負であり、

   $|x-1|=1-x$

   となる。$x\ge1$ の場合はまったく調べる必要がない。

3. 3

   代入して展開する。

   $3x+5=-2(1-x)=-2+2x$

4. 4

   できた 1 次方程式を解く。

   $3x-2x=-2-5\quad\Longrightarrow\quad x=-7$

5. 5

   候補が場合の条件を満たすことを確かめる。 $-7\le-\tfrac53$ か。そのとおり、$-7<-1.67$ ✓。もし計算の結果が $1$ より大きい値になっていたら、それは無縁解であり捨てなければならない。この確認は省略できない。

6. 6

   もとの方程式で検算し、解が一意であることを確かめる。 左辺は $3(-7)+5=-16$。右辺は $-2|-7-1|=-2(8)=-16$ ✓。$-30$ から $30$ まで $6001$ 点を走査しても $x=-7$ 以外に解は見つからない ✓。これは符号の議論からすでに予想がついていた。$x<1$ において $3x+5$ は増加し、$-2|x-1|$ はそれより緩やかに増加するからである。