連立方程式 X × 3.80 + Y × 4.20 = 6627.75 と X + Y = 1628 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   1 単位あたりの平均単価を計算する。 総額を総数で割ると、混ぜ合わせた後の単価が得られる。

   $\bar p=\frac{6627.75}{1628}=4.071099\ldots$

   これは $3.80$ と $4.20$ のあいだにあり、そうでなければならない——この範囲の外に出る平均は、問題そのものが矛盾している合図である。

2. 2

   てんびん（内分）の関係を使う。 平均から 2 つの単価までの距離は、それぞれの数量に反比例する。

   $\frac{X}{Y}=\frac{4.20-\bar p}{\bar p-3.80}=\frac{0.128901}{0.271099}$

   これが加重平均を使った近道である。安いほうの品は、その量に応じた分だけ平均を引き下げる。

3. 3

   1 つの方程式に直して厳密に解く。 丸めた平均を使うのではなく、そのまま小数を払うほうがよい。金額の式を $100$ 倍し、$X=1628-Y$ を代入すると

   $380(1628-Y)+420Y=662775\;\Longrightarrow\;618640+40Y=662775$

   $40Y=44135\;\Longrightarrow\;Y=1103.375$

   となる。

4. 4

   合計から $X$ を求める。

   $X=1628-1103.375=524.625$

   ここではどちらの値も有限小数になる。$44135/40$ は約分すると分母が $8$ になるからである。

5. 5

   金額の式と比を確かめる。 $3.80(524.625)+4.20(1103.375)=1993.575+4634.175=6627.75\;\checkmark$。比の確認は $\tfrac{524.625}{1103.375}=0.4755$ であり、$\tfrac{0.128901}{0.271099}=0.4755\;\checkmark$ となって、てんびんの考え方が代数の結果と一致することが確かめられる。