連立方程式 X × 5.20 + Y × 5.75 = 8947.2 と X + Y = 1595 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   連立方程式を行列の形に書く。

   $\begin{pmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8947.2\\ 1595\end{pmatrix}$

   クラメルの公式は各未知数を行列式の比として表す。$2\times 2$ の連立方程式では各行列式がたすき掛け 1 回で済むので都合がよい。

2. 2

   係数行列式を計算する。

   $D=\begin{vmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{vmatrix}=5.20(1)-5.75(1)=-0.55$

   これは 0 でないので、解はちょうど 1 つ存在する。$|D|$ がまた単価の差になっていることに注目したい。

3. 3

   分子側の 2 つの行列式を計算する。 $X$ の列、次に $Y$ の列を右辺で置き換える。

   $D_X=\begin{vmatrix}8947.2 & 5.75\\ 1595 & 1\end{vmatrix}=8947.2-5.75(1595)=8947.2-9171.25=-224.05$

   $D_Y=\begin{vmatrix}5.20 & 8947.2\\ 1 & 1595\end{vmatrix}=5.20(1595)-8947.2=8294-8947.2=-653.2$

4. 4

   割って未知数を求める。

   $X=\frac{D_X}{D}=\frac{-224.05}{-0.55}=\frac{4481}{11}\approx 407.36,\qquad Y=\frac{D_Y}{D}=\frac{-653.2}{-0.55}=\frac{13064}{11}\approx 1187.64$

   どちらも循環小数になるので、厳密な答えは分数の形である。

5. 5

   元の式で検証する。 和：$\tfrac{4481+13064}{11}=\tfrac{17545}{11}=1595\;\checkmark$。金額は $\times 100$ して小数を払うと $\tfrac{520\cdot 4481+575\cdot 13064}{11}=\tfrac{2330120+7511800}{11}=\tfrac{9841920}{11}=894720$ となり、これは $8947.2\times 100\;\checkmark$ である。