2x - y = 480 と 2y - x + m/3 = 0 が成り立つとき、x と y を m で表し、さらに x + y ≤ 8m/3 が成り立つ m の範囲を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの方程式と不等式を切り分ける。 2 つの方程式は各 $m$ に対して $x$ と $y$ を一意に定め、そのうえで不等式が $m$ の許される値を絞り込む。先に解いてから判定するという順序でなければ進まない。不等式だけでは $x$ と $y$ を決められないからである。

2. 2

   2 つ目の式を標準形に直す。 $2y-x+\dfrac{m}{3}=0$ より

   $-x+2y=-\frac{m}{3}$

   となる。

3. 3

   代入して $x$ を求める。符号に注意。 1 つ目の式から $y=2x-480$ なので、代入すると

   $-x+2(2x-480)=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 3x-960=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 9x-2880=-m$

   となる。ここから丁寧に整理する。$9x=2880-m$ なので

   $x=\frac{2880-m}{9}$

   である。$9x-2880=-m$ の右辺は $-m$ なので、$2880$ を足すと $2880-m$ になる。$m-2880$ では ない。この符号 1 つが本問の難所のすべてである。

4. 4

   代入して $y$ を求める。

   $y=2x-480=\frac{5760-2m}{9}-\frac{4320}{9}=\frac{1440-2m}{9}$

   $m=0$ で確かめると $x=320$、$y=160$ となり、実際 $2(320)-160=480$ ✓、$2(160)-320+0=0$ ✓ が成り立つ。

5. 5

   $x+y$ を作って不等式に当てはめる。

   $x+y=\frac{2880-m+1440-2m}{9}=\frac{4320-3m}{9}=\frac{1440-m}{3}$

   なので、条件 $x+y\le\dfrac{8m}{3}$ は

   $\frac{1440-m}{3}\le\frac{8m}{3}\ \Longrightarrow\ 1440-m\le 8m\ \Longrightarrow\ 1440\le 9m\ \Longrightarrow\ m\ge 160$

   となる。

6. 6

   境界とその両側で検証する。 $m=160$ では $x=\tfrac{2720}{9}$、$y=\tfrac{1120}{9}$、$x+y=\tfrac{1280}{3}$ であり $\tfrac{8m}{3}=\tfrac{1280}{3}$ ——等号が成り立つので $160$ は含まれる ✓。$m=900$ では $x+y=180\le 2400$ ✓。$m=0$ では $x+y=480$ に対し $\tfrac{8m}{3}=0$ なので不等式は成り立たず ✓、小さい $m$ が除外されることが確かめられる。